1. 产品简介

MathNotes 是一款离线优先的数学笔记本：你写的每一行都可以是笔记，也可以是一道算式——在行尾输入 = 即刻算出结果，结果显示在该行旁边，而不会改写你原本输入的内容；没打 = 时它就是一行安静的普通文字。

核心特点

离线优先：笔记保存在设备私有目录的本地 JSON，不上传、无账号、无广告、无追踪；仅"支付"这一步通过支付宝收银台联网，其余功能完全离线。
行内计算：四则运算、括号、函数、百分比、千分位，以及带 SI 单位的量纲运算（如 速度 = 5 m/s、转速 = 10 m/min）。
变量与公式：在单篇笔记内定义变量、引用变量，改一处全篇同步更新。
单位换算：长度、质量、温度、面积、体积、速度、时间、能量、压力、数据存储共 10 类，支持 → / -> / to 语法。
标准计算器：内置 iPhone 风格计算器，链式运算、百分比语义、重复等号、实时预览。
激活授权：一次激活，终身授权，解锁无限笔记；无订阅、无广告。App 内直接完成支付。

2. 安装与首次启动

从官网下载最新安装包 mathnotes-1.6.5.apk（Android 8.0 及以上）。
首次安装 APK 时，系统可能提示"禁止安装未知来源应用"。请在系统弹窗中允许当前安装来源（设置 → 允许"安装未知来源应用"），再继续安装。
打开 App：未激活时，免费版可查看内置的 10 条示例，另可自建 1 条笔记（示例不占额度）；达到限额会显示"激活解锁"提示。
安装后第一次打开就会内置 10 条示例笔记（生活 5 条 + 工程技术 5 条，按系统语言注入对应语种，免费版同样赠送），你可以直接编辑或新建，帮助你快速了解用法（详见第 12 节）。

购买后授权（license）由后端签发并绑定本机设备，App 本地验签激活；仅"支付"这一步需联网，笔记数据始终只存本机。

3. 界面导览

主要界面

笔记列表（NotesListScreen）：按日期分组，支持置顶、多选删除。未激活时除 10 条示例外仅允许自建 1 条笔记，超限显示升级横幅。
编辑器（EditorScreen）：像普通笔记一样书写；在行尾输入 = 后才显示结果（数值橙色粗体、单位中灰）；未打 = 时保持安静，不会干扰正常书写。支持标题与正文。
计算器（CalculatorScreen）：底部标签切换，标准四则 + 百分比 + 实时预览。
历史（HistoryScreen）：保存行内计算与计算器的全部结果，点选回填、可清空。
设置（SettingsScreen）：主题、字体大小、笔记备份导出、许可证状态、关于。
许可证（PurchaseScreen）：查看授权状态，点"购买"拉起支付宝收银台完成 ¥49 一次性激活；已激活时显示订单号。App 内不展示收款码，授权严格绑定本机。

4. 快速上手（四步）

新建或打开一条笔记，像普通文本一样书写。

写下算式并在行尾输入 =（如 12 * 8 =），结果立即内联显示；没打 = 时不会显示任何结果。

需要更多笔记？进入"许可证"复制设备码，向客服索取激活串。

粘贴激活串并点"激活"，本机永久解锁无限笔记。

# write in the editor:
12 * 8 =              → 96
(3 + 4) * 2 =         → 14
2^10 =                → 1024

就这么简单——结果只是显示在旁边，不写入你的原文，你可以随时修改公式重新计算。

5. 行内计算详解

在笔记里求值只有一个动作：在行尾输入 =。只要你没打 =，这一行就是普通文字——不计算、不报错、不打扰书写。打出 = 后，计算结果以橙色粗体数值 + 中灰单位的形式显示在该行右侧（仅视觉呈现、无背景底色，不改动真实文本）。若算式本身有真正的数学错误（如除以零、量纲不匹配、未知单位），才会内联提示 Error。等号刚敲下、右侧还没输入数字时（如 x =、5 + =、2x =）会保持静默，不会报 Error——等数字补齐后自然出结果。

5.1 基本用法

有两种写法，结果显示在行尾（橙色粗体数值 + 中灰单位）：

① 行尾输入 = 求值

写完算式后在行尾打一个 =，结果立即出现；写成 12 * 8（不打 =）时不显示任何内容。

12 * 8 =            → 96
(3 + 4) * 2 =       → 14
2^10 =              → 1024
sqrt(2) =           → 1.41421356
sin(30°) =          → 0.5

② 方程求解

一行中写成 未知量 = 表达式（等号在中间、右侧为纯数或带单位）会被当作方程求解，给出未知量的值：

2x + 3 = 7          → x = 2
x^2 = 16            → x = 4
2x = 10 m           → x = 5 m

方程求解支持一元一次/二次，结果若带单位会自动继承（如 2x = 10 m → x = 5 m）。仅含一个未知数时求解；含多个未知数或无法解析会提示错误。注意：2 + 3 =（= 在行尾）是"显式触发算式"，而 2x + 3 = 7（= 在中间）是"方程求解"，二者以 = 是否在行尾区分。

5.2 运算符

符号	说明	示例
`+` `-` `*` `/`	四则运算	`12 * 8 =`
`^`	幂（乘方，支持整数与分数指数）	`2^10 =` → 1024；`2^0.5 =` → 1.414…；`m^0.5 =` → 1 m^0.5
`()`	括号，改变优先级	`(3 + 4) * 2 =`
`-` (unary)	负号	`-3 + 5 =` → 2
`,`	千分位分隔符（仅当后接恰好 3 位数组时生效）	`1,000 + 2,000 =` → 3000

运算遵循标准数学优先级：先括号、再幂、再乘除、后加减。

5.3 函数一览

函数名大小写不敏感（Sin 等同 sin）。三角函数默认以弧度计算（见 5.4）。

函数	参数	说明	示例
`sqrt(x)`	1	平方根，可作用于带单位量（如 `sqrt(4 m²)` = 2 m）	`sqrt(2) =`
`cbrt(x)`	1	立方根	`cbrt(27) =` → 3
`abs(x)`	1	绝对值（保留单位）	`abs(-5) =` → 5
`sign(x)`	1	符号函数（-1/0/1）	`sign(-3) =` → -1
`round(x)` `floor(x)` `ceil(x)`	1	四舍五入 / 向下取整 / 向上取整（保留单位）	`round(3.6) =` → 4
`sin(x)` `cos(x)` `tan(x)`	1	三角函数（弧度，须无量纲）	`sin(30°) =` → 0.5
`asin(x)` `acos(x)` `atan(x)`	1	反三角函数（输入须在 [-1,1]）	`asin(0.5) =` ≈ 0.524
`sinh(x)` `cosh(x)` `tanh(x)`	1	双曲三角函数（弧度）	`sinh(0) =` → 0
`exp(x)`	1	自然指数 e^x	`exp(1) =` ≈ 2.718
`ln(x)`	1	自然对数（x > 0）	`ln(e) =` → 1
`log(x)`	1	常用对数 log₁₀（x > 0）	`log(100) =` → 2
`log2(x)`	1	以 2 为底对数（x > 0）	`log2(8) =` → 3
`deg(x)`	1	度 → 弧度（便于三角计算）	`sin(deg(30)) =` → 0.5
`rad(x)`	1	弧度 → 度	`rad(pi) =` → 180
`hypot(a, b)`	2	斜边 √(a²+b²)，两参数量纲须一致	`hypot(3, 4) =` → 5
`mod(a, b)`	2	取余（a 除以 b 的余数），量纲须一致，b≠0	`mod(10, 3) =` → 1

提示：三角函数（sin/cos/tan/asin/acos/atan）要求无量纲参数。若带单位（如 sin(30 m)）会报错；角度请用 ° 后缀或 deg() 先转为弧度。

上表即为全部 24 个内置函数（另有常量 pi、e）。表中没有的名称（如 max、min）会提示 Unknown function。
函数名前可以写中文标签帮助阅读，中间留一个空格即可，例如 人均取整 round(708.4 / 6) = → 118；标签本身不参与计算。

5.4 常量与角度

常量：pi（或 π）、e。例：2 * pi * r =、ln(e) =。
弧度制：三角函数默认以弧度计算。例如 sin(30) 计算的是 sin(30 弧度) ≈ -0.988，不是 0.5。

sin(30°) =        → 0.5
sin(deg(30)) =     → 0.5
rad(0.5236) =      → 30（弧度转回度数）

5.5 特殊符号

符号	位置	作用	示例
`√`	数字前	平方根（等价于 `sqrt()`，须无量纲）	`√(16) =` → 4
`!`	数字后	阶乘（仅无量纲整数，0–170）	`5! =` → 120
`%`	数字后	百分比（除以 100）	`50% =` → 0.5
`°`	数字后	度 → 弧度（便于三角计算）	`sin(90°) =` → 1

5.6 千分位

允许在整数中写千分位逗号，只要其后紧跟"恰好 3 位数字组"即视为分隔符：1,000,000 + 2,000 = → 1002000。若逗号后不是标准 3 位组（如双参函数 hypot(3,4)、mod(7,3) 那种情形），则按参数分隔符处理。

5.7 显示规则（重要）

等号才出结果：只有行尾写了 = 才会计算并显示；写 12 * 8 而不打 = 时保持静默。这样普通句子（如"今天买了 3 个苹果"）与尚未写完的算式都不会被误算或误报错。
等号自动补空格（仅视觉）：界面在 = 两侧自动补一个空格，不改写真实文本。
数字与单位自动补空格（仅视觉）：数字后紧跟系统注册单位时自动插入一个空格。例如你输入 x=5cm，显示成 x = 5 cm；输入 30m/s 显示成 30 m/s。这是纯显示层美化，不改动原文，光标与输入法行为不受影响。
数值橙色 / 单位中灰：行内结果中，数值用橙色粗体、单位用固定中灰（#808080），二者之间留一个空格，且结果无背景底色。例如 半径 * 2 = 显示为 半径 * 2 = 10 cm（10 橙、cm 中灰）。
赋值行不回显：像 半径 = 5 cm、速度 = 5 m/s 这样"定义/赋值"的行不会在行尾重复显示结果（原文已可见）；只有以 = 结尾的"运算行"（如 半径 * 2 =）和"换算行"才显示结果，避免重复。赋值行右侧表达式中的单位同样以中灰显示（如 速度 = 5 m/s 中的 m/s），与行尾结果的颜色一致。
单位识别范围：仅系统内置单位（cm、m、m/s、m/min 等）被识别为"单位"并以中灰显示；数字后跟的其他字符（如 25 元 的"元"）一律当作普通文本，不特殊着色、也不自动加空格。
数值格式：过大/过小自动用科学计数法，避免溢出或显示 Infinity；普通数保留合理小数并去掉尾零；科学计数法的尾数同样去尾零（显示 1.08e9 而非 1.08000000e9）；0 一定显示为 0。

6. 变量

在一篇笔记里可以定义变量，后面直接引用。变量仅在本篇笔记内有效，改一处引用同步更新。

咖啡 = 4.5
奶茶 = 3.5
总计 = 咖啡 + 奶茶      → 8

变量名支持字母与中文；等号两侧建议留空格。
带单位的变量同样支持：半径 = 5 cm、速度 = 5 m/s、转速 = 10 m/min。这些"赋值行"本身不显示行内结果；在后面写运算行（如 半径 * 2 =、转速 * 6 =）才会显示带单位的结果。
变量引用可用于任何算式，例如 咖啡 * 2 = → 9、x^2 =（若 x = 3）→ 9。

7. 单位与量纲系统

从 v1.5.0 起，MathNotes 支持带 SI 单位的量纲运算。每个物理量由一个数值与一个"单位"组成；单位背后是 8 维量纲向量（长度、质量、时间、电流、温度、物质的量、发光强度、数据量）。量纲一致的量可以直接相加减，量纲不同的量相加会报错——这正是物理计算应有的严谨性。

覆盖的量纲：长度、质量、温度、面积、体积、速度、时间、能量、压力、数据存储共 10 类换算，以及基于 SI 基本量纲的派生单位（N、J、Pa、W、Hz 等）。这 10 类换算与量纲运算均已用「全量纲模拟」逐一验证：67 个量纲/计算用例全过、632 行 8 语种示例笔记零报错，结果数值显示正确、单位显示正确、该报错处正确报错。在此之上，v1.5.6 又扩展了机械 / 电气 / 化学工程量纲（MPa、GPa、kN、MN、kW、MW、kHz、MHz、r/min、mol、kmol、V、A、Ω、S、F、H、T、C、Wb、var、VA），并新增「工程量纲覆盖探测」：共探测 61 个工程单位，58 个可直接识别并参与计算。

7.1 量纲匹配

5 m + 3 m =           → 8 m
5 m + 3 s =           → 报错：量纲不匹配
5 m/s * 2 s =         → 10 m
5 m * 3 m =           → 15 m²

运算合成的导出单位会用可读符号显示：力 → N、能量 → J、压强 → Pa、功率 → W、频率 → Hz（例如 kg·m/s² 显示为 N）。

单位显示：自动选用最紧凑的前缀单位。结果的单位不一定和你输入的单位相同——App 会在同一单位族内自动挑一个让数值落在 1～1000 之间的前缀单位，读起来最顺。这叫量级归一化，只影响显示，绝不改动你输入的原文。

1000 m =              → 1 km
1234 m =              → 1.234 km
1000 g =              → 1 kg
1000 w * 1 h =        → 1 kWh
125580 J =            → 125.58 kJ   （大能量自动选 kJ）

记住下面三条边界规则，就不会觉得意外：

换算后数值小于 1 就不换，保留你原来的单位：500 g = 仍显示 500 g（不是 0.5 kg），500 cm² = 仍显示 500 cm²（不是 0.05 m²）。宁可数值大一点，也不给一个小数点开头的读数。
只在同族内挑选，绝不跨族误换：m ↔ km、g ↔ kg、J ↔ kJ、Wh ↔ kWh 可以互挑，但不会把转速 r/min 换成频率 Hz，也不会把 J 换成 Wh。
你显式指定的换算目标一律尊重，不再归一化：1 kWh to J = 就老老实实给 3600000 J，不会自作聪明改成 3600 kJ。想固定单位，就用 to 明确写出来。

一句话记法：不写 to 时 App 帮你挑最好读的单位；写了 to 就完全听你的。

7.2 支持的单位（10 类）

类别	已支持单位（基准单位）
长度（m）	mm, cm, m, km, in, ft, yd, mi, nmi
质量（kg）	mg, g, kg, t, oz, lb
面积（m²）	mm², cm², m², km², ha, acre, ft²
体积（m³）	ml, l, m³, gal, cup
速度（m/s）	m/s, m/min, km/h, mph, knot
时间（s）	ms, s, min, h, day, week, yr
能量（J）	J, kJ, cal, kcal, Wh, kWh
压力（Pa）	Pa, kPa, bar, atm, psi
数据（byte）	bit, byte, kB, MB, GB, TB
温度（K）	°C, °F, K —— 可用 `to` 换算；同标度相减得温差 ΔT（如 `20 °C - 5 °C =` → `15 K`），K 可参与线性运算（见 7.4）
力（N）	N, kN, MN
应力 / 压强扩展	MPa, GPa, N/mm²（在 Pa 基础上扩展，覆盖弹性模量、材料强度）
功率（W）	W, kW, MW, var（无功功率）, VA（视在功率）
频率（Hz）	Hz, kHz, MHz, r/min（转速）
物质的量（mol）	mol, kmol（化学 / 反应工程）
电学量	V（电压）, A（电流）, Ω（电阻）, S（电导）, F（电容）, H（电感）, T（磁感应强度）, C（电荷）, Wb（磁通）。因单字母 A/V/C/F 易与笔记变量名冲突，输入请用别名 `volt`/`amp`/`coul`/`farad`，Ω/S/H/T 可用 `ohm`/`sie`/`hy`/`tesla`；计算结果仍按标准符号显示

电学量可直接参与量纲运算与合成，例如 2 volt * 3 amp = → 6 W、1 volt / 1 amp = → 1 Ω、2 amp * 3 s = → 6 C。这部分单位已用「工程量纲覆盖探测」逐一验证：共探测 61 个工程单位，其中 58 个可直接识别并参与计算。

温度单位（°C / °F / K）采用仿射换算（带偏移量）。自 v1.6.5 起，同标度相减可求温差 ΔT：20 °C - 5 °C = → 15 K，且该温差可继续参与运算（如 Q = c·m·ΔT）。而温度相加、异标度相减、温度乘除仍会明确报错——这些运算在物理上没有意义。

7.3 带单位量的函数

sqrt(4 m²) = → 2 m（开方会相应缩放单位维度）。
abs、round、floor、ceil 会保留单位。
hypot、mod 要求两参数单位量纲一致。
三角函数、对数、指数等要求无量纲参数，带单位会报错。

7.4 单位换算

在正文里用 数值原单位 → 目标单位 =（也支持 -> 与英文 to）。换算同样需要在行尾打 =：

100 cm to m =         → 1 m
1 km to mi =          → 0.621371192 mi
32 °C to °F =         → 89.6 °F
0 °C to K =           → 273.15 K
5 km/h to m/s =       → 1.38888889 m/s
1 kWh to J =          → 3600000 J
2 GB to MB =          → 2048 MB

温度必须带 ° 号：写 32 °C to °F。写成 32 C to F 会提示「温度单位请带 °：写作 32 °C to °F（C/F 需加 °）」，给出友好提示而非崩溃——因为 C、F 并未注册为单位。开尔文写 K（不带度数符号）。
温度用仿射换算（带偏移量）：0 °C to °F = 32 °F，100 °C to K = 373.15 K。
其余类别均为线性因子换算。
目标单位按注册大小写显示：J、kWh、Pa、l（升，小写）、MB、µm、m² 等；输入不区分大小写（写 L 或 l 均可）。

公里 ↔ 英里：最容易记反的一组换算

km 与 mi 的换算系数是两个互为倒数的数，方向一记反，误差就是 2.6 倍——看路标、读进口车表盘、跑步 App 对里程时最常翻车。

方向	系数	App 实际输出
公里 → 英里	× 0.621371192	`1 km to mi =` → `0.621371192 mi` `100 km to mi =` → `62.1371192 mi`
英里 → 公里	× 1.609344	`1 mi to km =` → `1.609344 km` `100 mi to km =` → `160.9344 km`

心算的人常把 100 km 说成"大概 160 英里"（实际 62.1 英里），或者把 100 英里当成 62 公里（实际 160.9 公里）——正好反了。写一行 100 km to mi =，就不用赌自己记的是哪个方向。

同样容易记反的还有：kg ↔ lb（1 kg ≈ 2.2046 lb）、m ↔ ft（1 m ≈ 3.2808 ft）、l ↔ gal（1 gal ≈ 3.7854 l）、km/h ↔ mph。都直接写 to 换，不用背系数。

7.5 复合单位

复合单位 m/s（速度）、m/min（转速）、km/h 等已注册。运算合成的单位若量纲+因子命中注册项，按注册字面符号原样显示，不会强制归一化：

转速 = 10 m/min
转速 * 6 =            → 60 m/min   （而非 1 m/s）

7.6 已知限制（工程量纲）

温度相加 / 异标度相减 / 温度乘除仍报错：如 20 °C + 5 °C = 会提示「温度不能直接相加（请改用温差 ΔT = a − b）」。但同标度相减的温差 ΔT 自 v1.6.5 起已支持——K 作为温度区间单位可参与运算，因此传热系数 W/(m²·K)、比热容 J/(kg·K) 现已可直接计算，例如 (20 °C - 5 °C) * 2 kg * 4186 J/(kg·K) = → 125.58 kJ。
对数/分贝类单位：dB 等对数单位非 SI 线性可加，不参与量纲运算。
单字母电学单位用别名输入：如前所述，A/V/C/F 请用 amp/volt/coul/farad 输入，避免与变量名（a、v、c、f）冲突——这是"单位识别"与"变量命名"共存时的有意取舍（详见 7.2 电学量说明）。

8. 计算器详解

底部切到"计算器"标签，获得一个 iPhone 风格标准计算器：

四则 + 正负号 + 百分比：百分比键 % 表示"当前操作数相对已输入数的百分比"——100 + 5% = 105，100 × 5% = 500（先算 5% of 100 = 5，再 100 × 5）。
链式运算按优先级：1 + 2 × 3 = → 7（先乘后加）。
重复等号：5 + 3 = 得 8，再按 = → 11（重复 +3）；5 + = → 10（运算符后按 = 重复上一个操作数）。
退格：删除当前操作数末位；AC 清空全部。
实时预览：输入过程中显示待执行表达式。
最终求值复用与笔记内联相同的数学引擎，保证两者结果一致。

9. 历史记录

“历史”标签保存你做过的计算——行内计算与计算器结果都会计入。点任一条可回填到计算器，方便继续运算；可一键清空。

10. 设置

主题：浅色 / 深色 / 跟随系统。
字体大小：调大调小更护眼（编辑器与界面统一缩放）。
备份：导出笔记 JSON 到任意位置（系统文件选择器 SAF），换机时可再导入。建议定期备份。
许可证：查看激活状态、复制设备码、重新激活。
关于：版本号、隐私说明（明确"笔记本地存储、仅支付步骤联网"）。

11. 购买与激活详解（解锁无限笔记）

MathNotes 通过一次激活，终身授权；无订阅、无广告。

打开"许可证"页（免费版自建笔记达 1 条时弹出，或从"设置→许可证"进入），点"购买/解锁"。

App 向后端请求订单（携带本机 deviceCode），后端生成支付宝订单，App 拉起支付宝收银台。

支付 ¥49 成功后，支付宝异步通知后端，后端验签后签发授权（RS256 JWT license，内含 device_id 绑定本机）。

App 收到授权并本地验签通过，本机永久解锁全部功能。

安全模型：RS256 license + 严格设备绑定

授权采用非对称密码学，结构上主要限定本机使用，不便于共享或伪造：

角色	持有	能力
用户 App	公钥（硬编码 BuildConfig.LICENSE_PUBLIC_KEY）	仅验签，无法伪造 license
用户 App	本机 deviceCode	设备唯一标识，授权绑定的目标
后端	LICENSE_PRIVATE_KEY（服务端私钥）	对订单验签后签发含 device_id 的 license

授权为 RS256 JWT（三段式 header.payload.signature），载荷含 order_id / device_id / product / expire。App 必须依次通过三步才激活：① 用内置公钥验 JWT 签名；② 比对载荷 device_id 等于本机 deviceCode（常量时间比较）；③ 校验 product 与 expire（终身授权 expire=never）。

反编译 App 只能拿到公钥，造不出有效 license；
把授权装到别的设备，会因 device_id 不一致被拒绝；
没有服务端私钥，无法为任意设备签发合法 license。

换手机 / 重装 App：v1.6.3 起设备码由 ANDROID_ID 派生，卸载重装 / 清除数据后保持不变，原授权继续有效；换手机后设备码变化，在本人设备上点「恢复购买」或手输订单号即可把授权自助换绑回本机（每单上限 3 次，超限联系客服），无需重新付款。

退款与技术支持

电子邮箱kefu@jujumi.com.cn

电话0519-83621958

WhatsApp+852 47488136

联系方式用于退款与技术支持，App 内不展示收款码（支付统一由"购买"按钮拉起支付宝收银台）。

12. 10 条示例笔记（生活 + 工程技术）

安装后首次打开就会内置 10 条示例（生活 5 条 + 工程技术 5 条），免费版同样赠送且不占用免费额度，全部可直接计算。示例会跟随系统语言以对应语种注入（8 种语言各一套，公式与单位保持一致）。下面列出主题与其中用到的单位/语法：

#	分类	主题	用到的单位 / 语法
1	生活	月度家庭预算	变量、四则、储蓄率百分比
2	生活	超市购物清单	变量求和、`×`、折扣 `* 10 %`
3	生活	朋友聚餐 AA	变量、服务费百分比、`round()` 取整（118.066667 → 118）
4	生活	旅行费用分摊	变量、多级除法（总额 → 每人 → 日均）
5	生活	咖啡开销统计	变量、`×`、占年薪比例
6	工程	房间装修面积估算	`m` / `m²`、`hypot()` 对角线、`π × r^2`
7	工程	自驾出行油耗与里程	`km/h`、`h`、`km/h to m/s`、动能推导出 `J`
8	工程	常见物质密度	`kg/m³`、`m³`，量纲推导出 `N` 与 `Pa`
9	工程	晨跑配速与距离	复合单位 `m/min`（180 m/min × 10 min = 1800 m）、`m to km`、`m/min to km/h`
10	工程	水箱容积与注水时间	`m³ to L`、`L/min`（3000 L ÷ 50 L/min = 60 min）、`°C to °F`、`GB to MB`、`J to kWh`、频率 `Hz`

这些示例都由单元测试逐行核对（10 条 × 8 语种 = 80 篇，全部零错误，且每条算式行都以 = 结尾、打开即有结果），是上手量纲与换算的最佳模板。

13. 多语言

App 内置 8 种语言：英语、中文、日语、韩语、法语、德语、西班牙语、阿拉伯语（阿拉伯语 RTL 自动适配）。语言跟随系统；未翻译时回退英文，不影响使用。

显示语言与手机一致：界面文案与示例笔记文案都读取手机系统显示语言，二者始终同步——切换手机语言后，界面与示例笔记会一并切换为对应语种，不会"界面一种语言、示例另一种语言"。已用「全量纲模拟」逐一验证 8 语种示例笔记共 632 行渲染正确、零报错。

14. 常见问题

笔记会丢吗？
本地 JSON 原子写入（先写临时文件再 rename），不易损坏。建议定期用"设置→备份"导出，或开启系统云备份。

要联网吗？要权限吗？
笔记数据 100% 存本机，仅"支付"这一步需联网（支付宝收银台）。App 声明 INTERNET 权限仅供支付使用，不收集任何数据。

是订阅吗？
不是。一次激活，终身授权，无订阅、无广告。

授权能给别人用吗？
不能。授权（license）绑定本机 device_id，在他人设备上验签会因设备不一致被拒绝。

换手机 / 重装后功能被锁？
换机或重装都没关系，授权可恢复。点「恢复购买」，或在「购买/恢复」页手输订单号，即可把授权换绑回当前设备（每单有换绑次数上限）。

忘记授权？
在任何设备上打开「购买/恢复」，点「恢复购买」（或手输订单号）即可自动重新领取，授权会换绑到当前设备（每单有换绑次数上限）。

角度算出来不对？
三角函数默认用弧度。确认用 ° 后缀或 deg() 输入角度：sin(30°) = 0.5；sin(30) 是 sin(30 弧度) ≈ -0.988。

行内结果不显示？
确认该行以 = 结尾且表达式合法（括号匹配、函数名正确；温度只支持同标度相减求 ΔT，相加或乘除会报错）。

温度换算结果异常，或提示「温度单位请带 °」？
温度单位必须带度数符号：写 32 °C to °F，不能写 32 C to F（C、F 未注册为单位，但 App 会给出友好提示而非直接报错）。温度是仿射换算（有偏移量），不能用普通比例估算。

round() 等函数没生效？
函数名前如果有中文标签，中间要留空格，例如 人均取整 round(708.4 / 6) = → 118。

笔记里 100 + 5% 为什么是 100.05 而不是 105？
笔记正文中 % 就是"除以 100"，所以 5% = 0.05。只有计算器采用 iPhone 语义把它解释为"前项的 5%"得 105。笔记里想算加价请写 100 * 105% = 或 100 + 100 * 5% =。

量纲不匹配报错？
不同物理量的单位不能直接加减（如 5 m + 3 s）。请检查单位是否一致。

15. 故障排查

现象	可能原因	处理
授权提示"无效"	device_id 与设备不一致 / 串被截断	重新复制完整授权串；确认是本机设备码
激活串无法粘贴	包含换行 / 首尾空格	粘贴后检查首尾无多余字符
行内结果不显示	该行无 `=` 或语法错误	检查表达式；查看错误提示
历史为空	首次使用	做一次计算即会产生
换机或重装	设备码变化，但授权可恢复	打开「购买/恢复」→「恢复购买」或手输订单号换绑回本机（有上限；超限请联系客服）
安装 APK 被拦	未允许"未知来源"	系统设置允许安装未知来源应用

MathNotes 使用说明书

目录